문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 푸앵카레 정리 (문단 편집) == 개념 및 해설 == || 3차원 공간의 모든 단일폐곡선이 하나의 점으로 모일 수 있다면 그 공간은 구와 위상적으로 같다.[* 이 명제를 수학적으로 표현하면 '임의의 경계가 없는 단일 연결 콤팩트 3차원 다양체는 3차원 구면과 위상동형이다'가 된다.] || 여기서 말하는 구(Sphere)란 공(Ball)의 경계를 뜻하며, 3차원 구(e.g. [math(x^2+y^2+z^2+w^2=1)])란 곧 4차원 공(e.g. [math(x^2+y^2+z^2+w^2<1)])의 경계를 뜻한다. 여기에서 3차원 구란 사실상 4차원 도형이다. 이 추측과 비슷한 명제로 2차원 공간 버전이 있는데, 여기서 말하는 2차원 구 역시 3차원 공의 표면인 구면을 뜻한다. [[지구]]는 3차원이지만, 지구의 표면만 생각하면 [[위도]]와 [[경도]]로만 정의되는 2차원 공간이 되듯이 말이다. 그래서 '[[우주]]에 무한한 길이의 실을 맨 [[로켓]]을 쏘아보내서 우주 공간을 지나 지구로 돌아오게 한 다음, 우주에 펼쳐진 고리 모양의 실을 당겨서 걸리는것 없이 회수가 잘 되면 구형 모양의 우주이고, 중간에 무언가 걸리면 구형 모양의 우주는 아니다'라는, 쉬운(?) 비유로 대신 설명된다. 간단한 예로, '''속이 빈 [[도넛]] 모양'''의 3차원 공간을 생각해 볼 수 있다. 이 공간 내부의 한 점에서 아무 방향으로나 실을 맨 로켓을 충분히 많이 쏜 다음 내부 공간을 지나 제자리로 돌아오게 한다고 가정하자.(실의 길이는 무작위이다. 극도로 짧을수도, 엄청나게 길 수도 있다.) 그 다음에 실의 시작부분과 로켓의 몸통을 잡고 실을 줄자마냥 줄여서 회수하려고 한다면, 반드시 도넛 중앙의 빈 공간을 이루는 벽에 걸려 회수가 안 되는 실이 있을 것이다. 그러므로 도넛 모양은 구와 위상적으로 같지 않다. 도넛 모양 대신 구형 공간을 생각한다면, 모든 실은 별다른 장애 없이 회수할 수 있을(한 점으로 묶여 수렴할 수 있을) 것이다. [youtube(qi7C0KBPnWk?si=a2_6PEDbbcMDRL9t)] 위 설명을 풀어서 시각화한 [[EBS]] 다큐멘터리 <문명과 수학> 제5부. 똑같이 푸앵카레의 이름이 들어간 [[https://en.wikipedia.org/wiki/Poincar%C3%A9%E2%80%93Hopf_theorem|푸앵카레-호프 정리]]와 헷갈리지 말자. 이건 [[벡터|벡터장]] 관련이다.저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기